Le Curve Ellittiche sono state inventate a metà degli anni 80 e vengono utilizzate :
Le curve ellittiche servono per “giocare” con i cifrari asimmetrici, posso addirittura sostituirli con esse.
A parità di sicurezza le curve ellittiche sono piu leggere di RSA ,A parità di forza , invece, la chiave delle curve ellittiche è 1/10 di quella di RSA.
In compenso le chiavi sono piu semplici da gestire.
$$ EC:y^2 = x^3+ ax^2+bx+c $$
In particolare sono interessato a :
$$ \{ (x,y) : x,y \in K ; \space y^2 = x^3 + ax^2+bx+c \}\\ \text{nel nosto caso K = } \Z_p $$
Le curve ellittiche non hanno nulla a che fare con gli ellissi
Avendo il Dominio in $\Z_P$ avrò dei punti sul piano , non una linea (come in $R$)
Punto all’ Infinito : Le curve ellittiche si comportano come i binari quando li guardi all’orizzonte, ossia tendono ad andare in punto molto lontano detto punto all’infinito.
ES:
Calcolare le coppie $(x,y)$ tali per cui $\{ (x,y) \space x,y \in \Z_5 ;\space y^2=x^3+2x-1\}$
L’attaccante non può fare bruteforcing perchè ci sono molti punti sulla curva.
Siamo interessati alle operazioni che si possono svolgere sulle curve , in particolare alla somma dei punti della stessa curva